Class 10 RBSE Math solution Chapter 1 वैदिक गणित Exercise 1.2

Exercise 1.2

उपसूत्र यावदूनम तावदूनी द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
93
हल:
(93)2 = 93 – 07/072
= 86/49 = 8649 उत्तर
संकेत — आधार = 100
विचलन = 93 – 100 = – 07
सूत्र— (संख्या)2 = संख्या + विचलन/(विचलन)2

प्रश्न 2.
(106)
हल:
(106)2 = 1(106 + 06)/062
= 1 x 112/36
= 11236 उत्तर,
संकेत-आधार = 100
उपाधार = 200
उपाधार = 2, विचलन = 6
सूत्र-(संख्या)2 = उपाधारअंक (संख्या + विचलन)/(विचलन)2

प्रश्न 3.
211
हल:
(211)2 = 2(211 + 11)/(11)2
= 2 x 222/121
= 444/21 = 44521 उत्तर
संकेत-
आधार = 100
उपाधार = 200
आधार अंक = 2, विचलन = 11
सूत्र-(संख्या) = उपाधार अंक (संख्या + विचलन)/(विचलन)

प्रश्न 4.
405
हल:
(405)2 = 4(405 + 05)/(05)2
= 4 x 410/25
= 164025 उत्तर
संकेत-
आधार = 100
उपाधार = 400
उपाधार अंक = 4, विचलन = 05
सूत्र-(संख्या)2 – उपाधारअंक (संख्या + विचलन)/(विचलन)2

उपसूत्र आनुरूप्येण द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5.
16
हल:
(16)2 =

संकेत-

1. तीन खण्ड बनाते हैं।
2. प्रथम में दहाई तथा तृतीय में इकाई के अंक वर्ग लिखते हैं।
3. द्वितीय खण्ड में इकाई व दहाई का गुणन लिखते हैं तथा उसके नीचे पुनः वही गुणनफल लिखते हैं।
4. योगफल संख्या का अभीष्ट वर्ग है। मध्य खण्ड व तृतीय खण्ड में 1 – 1 अंक ही लिखते हैं।

प्रश्न 6.
31
हल:
(31)2 =

प्रश्न 7.
24
हल:

प्रश्न 8.
56
हल:

सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा वर्ग ज्ञात करो।

प्रश्न 9.
45
हल:
(45)2 = 4 x (4 + 1)/52
= 4 x 5/25
= 20/25
= 2025 उत्तर
संकेत-

1. इसमें दहाई के अंक से एकअधिक अंक लेकरे गुणा करते हैं।
2. इकाई के अंक का वर्ग कर इसके साथ लिख देते हैं।

प्रश्न 10.
85
हल:
(85)2 = 8 x (8 + 1)/52
= 72/25
= 7225 उत्तर

प्रश्न 11.
115
हल:
(115)2 = 11 x 12/(5)2
= 132/25
= 13225 उत्तर

प्रश्न 12.
125
हल:
(125)2 = 12 x 13/52
= 156/25
= 15625 उत्तर

सूत्र संकलन व्यवकलन द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.
23
हल:
(23)2 = (23 + 3) (23 – 3) + 32 संकेत-इष्ट संख्या = 3
= 26 x 20 + 9
= 520 + 9 = 529 उत्तर

प्रश्न 14.
38
हल:
(38)2 = (38 + 2.) (38 – 2) + 22
= 40 x 36 + 4
= 1440 + 4
= 1444 उत्तर
संकेत-

1. इष्ट संख्या = 2
2. इष्ट संख्या का चयन इस प्रकार कियाजाता है कि जोड़ने या घटाने पर शून्यान्त संख्या प्राप्त हो।

प्रश्न 15.
(69)
हल:
(69)2 = (69+ 1) x (69 – 1) + (1)2 संकेत-इष्ट संख्या = 1
= 70 x 68 + 1
= 4760 + 1 = 4761

प्रश्न 16.
89
हल:
(89)2 = (89+ 1) (89 – 1) + (1)2 संकेत-इष्ट संख्या = 1
= 90 x 88 + 1
= 7920 + 1 = 7921 उत्तर

द्वन्द्व योग द्वारा वर्ग ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 17.
362
हल:
362 के पांच अंक समूह बनेंगे
(362)2 = 32/3 x 6 x 2/3 x 2 x 2 + 6/6 x 2 x 2/22
= 9/36/48/24/4
(362)2 = 131044 उत्तर
संकेत-

1. सर्वप्रथम वर्ग ज्ञात करने वाली संख्या के अंकसमूह बनाते हैं। जैसे-3, 36, 362, 62, 2 इसके समूह.
2. इनको द्वन्द्व योग के अनुसार क्रम में लिखते हैं।
3. इकाई अंक की ओर से योग करते हैं। एक खण्ड में एक अंक रखते हैं। योगफल ही अभीष्ट संख्या का वर्ग होगा।

प्रश्न 18.
453
हल:
(453)2 = अंक समूह = 4, 45, 453, 53, 3
इन्हें पाँच खण्डों में लिखने पर।
= 42/4×5 x 2/4×3 x 2 + 5/5 x 3 x 2/32
= 16/40/49/30/9 योग करने पर
= 205209 उत्तर

प्रश्न 19.
4312
हल:
4312 के सात अंक समूह निम्न प्रकार बनेंगे-
4, 43, 431, 4312, 312, 12, 2
(4312)2 = (4)2/4 x 3 x 2/4 x 1 x 2 + 32/4 x 2 x 2 + 3 x 1 x 2/3 x 2 x 2 + 12/1 x 2 x 2/22
= 16/24/17/22/13/4/4
(4312)2 = 18593344 उत्तर

प्रश्न 20.
2456
हल:
(2456)2 इसके सात अंकसमूह निम्न प्रकार हैं
2, 24, 245, 2456, 456, 56, 6
(2456)2 = 22/2×4 x 2/2 x 5 x 2 + 42/2 x 6 x 2 + 4 x 5
x 2/4 x 6 x 2 + 52/5 x 6 x 2/62
= 4/16/36/64/73/60/36
(2456)2 = 6031936

सूत्र निखिलम् द्वारा घनफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 21. 14
हल:
सूत्र–घनफल = संख्या + 2 x विचलन/3(विचलन)2/(विचलन)3
(14)3 = 14 + 2(4)/3 x (4)2/4
= 14 + 8/48/64
= 2744 उत्तर
संकेत-आधार = 10 तथा विचलन = 14 – 10 = 4

प्रश्न 22. 97
हल:
सूत्र–घनफल = संख्या + 2 x विचलन/3(विचलन)2/(विचलन)3
(97)3 = 97 + 2 (-3)/3 x (- 3)/(- 3)3
(97)3 = 97 – 6/3 x 9/- 27
= 91/26/100 – 27
= 912673 उत्तर
संकेत–यहाँ आधार = 100 तथा विचलन = – 3 है।

प्रश्न 23.
27
हल:
(27)3 = (उपाधार अंक)2 (संख्या + 2 x विचलन)(RBSESolutions.com)/उपाधार अंक x 3 x (विचलन)/(विचलन)3
यहाँ उपाधार = 30, उपाधार अंक = 3, विचलन = – 3
अतः (27)3 = (3)2 (27 + 2x – 3)/3 x 3 x (-3)2/(- 3)3
= 189/81/- 27
= 189/78/30 – 27
= 19683 उत्तर

प्रश्न 24.
395
हल:
(395)3 = 42(395 + (-5) x 2)/4×3 x (- 5)2/(- 5)3
= 16(395 – 10)/300/- 125
= 6160/298/200 – 125
= 6160/298/75
= 61629875 उत्तर
संकेत–यहाँ आधार = 400, उपाधारअंक = 4, विचलन = – 5 मध्य व तृतीय खण्ड में 2 = 2 अंक होंगे।

उपसूत्रं आनुरूप्येण द्वारा घनफल ज्ञात कीजिये।

प्रश्न 25.
16
हल:
16 के घनफल के खण्ड

संकेत

1. इसके लिए चार खण्ड बनेंगे।
2. बायीं ओर से प्रथम खण्ड में संख्या के दहाई अंक का घन तथा चतुर्थ खण्ड में संख्या के इकाई अंक का घन है।
3. दूसरे खण्ड में दहाई अंक का वर्ग x इकाई अंक का वर्ग है।
4. तीसरे खण्ड में दहाई अंक x इकाई अंक वर्ग है।
5. दूसरे व तीसरे खण्ड में प्राप्त गुणनफल का दुगुना उन्हीं खण्डों में और जोड़ते हैं।
6. द्वितीय, तृतीय तथा चतुर्थ खण्ड में एक-एक अंक रहेगा। सबका योगफल ही अभीष्ट घनफल है।

प्रश्न 26.
33
हल: (33)3

संकेत

1. इसके लिए चार खण्ड बनेंगे।
2. बायीं ओर से प्रथम खण्ड में संख्या के दहाईअंक का घन तथा चतुर्थ खण्ड में संख्या के इकाई अंक का घन है।
3. दूसरे खण्ड में दहाई अंक का वर्ग x इकाई अंक का वर्ग है।
4. तीसरे खण्ड में दहाई अंक x इकाई अंक वर्ग है।
5. दूसरे व तीसरे खण्ड में प्राप्त गुणनफल का दुगुना उन्हीं खण्डों में और जोड़ते हैं।
6. द्वितीय, तृतीय तथा चतुर्थ खण्ड में एक-एक अंक रहेगा। सबका योगफल ही अभीष्ट घनफल है।

प्रश्न 27.
41
हल:
(41)3

(41)3 = 68921 उत्तर

प्रश्न 28.
52
हल:
(52)3

सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा घनफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 29.
45
हल:

संकेत

1. आधार = 10, विचलन = 5 x 3 – 10 = 5
2. गुणन संक्रिया को चार खण्डों में लिखते हैं। बायें सेप्रथम खण्ड= दहाई अंक का वर्ग x उसको एकाधिक, द्वितीय खण्ड = दहाई अंक का वर्ग x विचलन, तृतीय खण्ड = 3 x दहाई अंक x (इकाई अंक), चतुर्थ खण्ड = (इकाई अंक) जहाँ विचलन = इकाई अंक x 3 – 10

प्रश्न 30.
73
हल:

संकेत–विचलन = 9-10 = – 1, आधार = 10

प्रश्न 31.
24
हल:

संकेत-विचलने = 4 x 3 – 10 = 10 = 2, आधार = 10

प्रश्न 32.
106
हल:

संकेत-विचलन = 6 x 3 – 10 = 8